Materii și unități de învățare

Fiecare număr natural se scrie ca o succesiune de cifre care se pot repeta. Prima cifră a unui numar natural de cel putin două cifre este diferită de 0.

Pentru a putea număra diferite obiecte se folosesc numerele naturale. Sistemul de numărare pe care îl folosim azi este sistemul de numeraţie zecimal al numerelor naturale (se mai numeşte şi sistemul de numeraţie în baza zece). Acesta înseamnă că pentru a număra mai multe obiecte, ele se grupează câte zece, astfel:

• zece unităţi formează o zece,
• zece zeci formează o sută,
• zece sute formează o mie etc. .

Reprezentarea pe axa numerelor; compararea și ordonarea numerelor naturale. Aproximări, estimări. Compararea și ordonarea numerelor naturale.

Pentru a compara două numere naturale scrise cu același număr de cifre, se compară valorile cifrelor de la stânga la dreapta. Aproximarea se poate face prin lipsă sau prin adaos, în funcție de cum vrem să considerăm valoarea apropiată de cea reală: mai mică sau mai mare decât aceasta. A ordona numerele naturale înseamnă a le așeza în șir crescător sau descrescător.

Prin adunarea numerelor naturale a si b se obține un număr natural s, numit suma numerelor a și b. Numerele care se adună se numesc termeni.

Proprietățile adunării sunt:

1. Adunarea este comutativă. Dacă schimbăm locul termenilor, rezultatul nu se schimbă. De aceea, spunem că adunarea este comutativă, adică ordinea termenilor nu influențează rezultatul.
2. Adunarea este asociativă. De obicei, grupăm termenii adunării în așa fel încât să ne fie mai ușor să efectuăm calculele. Spunem că adunarea este asociativă, adică putem asocia (grupa) termenii cum vrem noi.
3. Numărul 0 nu modifică rezultatul adunării. Orice număr adunat cu 0 rămâne neschimbat. Mai spunem că 0 este element neutru pentru adunare.

Scăderea numerelor naturale a și b este operația aritmetică notată a - b. Numerele a și b se numesc termenii scăderii: a se numește descăzut, iar b se numește scăzător. Rezultatul scăderii se numește diferență.

Pentru a putea efectua scăderea a două numere naturale, descăzutul trebuie sa fie mai mare sau egal cu scăzătorul.

• Scăderea numerelor naturale este operația inversă adunării.
• Scaderea numerelor naturale nu are proprietățile adunării (scăderea nu este comutativă, nu este asociativă și nu are element neutru).

Proprietăți; Factor comun.

Operația prin care din numerele naturale a si b se obține produsul lor a*b se numeste înmulțire. Numerele a și b se numesc factorii înmulțirii.

Proprietăți:

• Înmulțirea este o operație comutativă: a×b=b×a
• Înmulțirea este o operație asociativă: (a×b)×c=a×(b×c).
• Înmulțirea este o operație distributivă față de adunare/scădere: x×(z+y)=x×z+x×y ,x×(z-y)=x×z-x×y.
• Înmulțirea este o operație pentru care 1 este element neutru: 1×x=x.
• Înmulțirea este o operație pentru care, dacă un factor este 0, atunci rezultatul va fi egal cu 0: x×0=0.

Teorema împărțirii cu rest.

Împărțirea este o operație aritmetică prin care se determină de câte ori un număr poate fi cuprins în altul. d : î= c, unde:

• d este denumit deîmpărțit
• î este denumit împărțitor sau divizor
• c este denumit cât

Teorema împărțirii cu rest:

• d= î x c + r(Deîmpărțitul =Împărțitor x Cât +Rest)

Împărțirea nu este comutativă și nici asociativă.

Reguli de calcul cu puteri; Puterea cu exponent număr natural a unui număr natural, Pătratul unui număr natural

Produsul a n factori egali se numește puterea a n-a a numărului natural a. Pătratul unui număr natural reprezintă puterea a doua a numărului respectiv.

1. Pentru a înmulți două puteri cu aceeași bază scriem baza și adunăm puterile

2. Pentru a împărți două puteri cu aceeași bază scriem baza și scădem puterile

3. Pentru a ridica o putere la altă putere scriem baza și înmulțim exponenții între ei

4. Pentru a ridica un produs la o putere ridicăm fiecare factor la putere.

Compararea puterilor; Scrierea în bază 10; Scrierea în bază 2

Dintre două puteri cu aceeași bază este mai mare cea cu exponentul mai mare. Dintre două puteri cu același exponent este mai mare cea cu baza mai mare. Dacă nu avem nici aceeași bază, nici același exponent, trebuie să aducem fie la aceeași bază, fie la același exponent.

Baza unui sistem de numerație se definește ca fiind numărul unităților de același ordin de mărime care formează o unitate de ordin imediat superior. Baza unui sistem de numerație reprezintă numărul de semne distincte necesare scrierii unui număr.

• Pentru scrierea numerelor in baza 10 se folosesc cifrele: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Pentru scrierea numerelor in baza 2 se folosesc cifrele: 0, 1.

Utilizarea parantezelor rotunde, pătrate și a acoladelor.

• Adunarea si scăderea sunt operații de ordinul I.
• Înmulțirea si Împărțirea sunt operații de ordinul al II-lea.
• Ridicarea la putere este operație de ordinul al III-lea.

1. Dacă într-un exercițiu apar operații de ordine diferite, mai întâi efectuăm operațiile de ordinul al III-lea, apoi pe cele de ordinul al II-lea și în final pe cele de ordinul I.
2. Dacă într-un exercițiu apar mai multe tipuri de paranteze, se efectuează intâi operațiile din parantezele rotunde, apoi cele din parantezele pătrate și in final acoladele.

Metoda reducerii la unitate.

Algoritmul de rezolvare constă în aflarea mărimii cerute printr-o fază intermediară de comparare cu unitatea.